LOGIKA - ĆWICZENIA Z LOGIKI [ TAUTOLOGIA I KONTRTAUTOLOGIA RACHUNKU ZDAŃ ] => PROCES SPRAWDZANIA ...

1.  Logika u podstaw - ZDANIE i SPOJNIKI ...____ 2.  Logika u podstaw - WARTOSC LOGICZNA __ 3.  Logika u podstaw - EKSTENSJONALNOSC i ... 4. Logika u podstaw - TAUTOLOGIA i KONTR..._ 5.  Logika u podstaw - SYSTEM_ZALOZENIOWY 6.  Logika u podstaw - PRAWDA LOGICZNA ___ 7.  Logika u podstaw - WYNIKANIE LOGICZNE _ 8.  Logika u podstaw - ROWNOWAZNOSC ...___ 9.  Logika u podstaw - WNIOSKOWANIE ..._____ 10.  Logika u podstaw - FALSZ LOGICZNY_ ___ 11.  Logika u podstaw - SPRZECZNY ZBIOR ..._ 12.  Logika u podstaw - KWANTYFIKATORY ..._ _______________________________________ ______strona  domowa  logiki  u  podstaw_____

4. TAUTOLOGIA RACHUNKU ZDAN - jest to wylacznie prawdziwy schemat zdania wyrazonego w jezyku rachunku zdan. O jego prawdziwosci rozstrzygamy poprzez podstawienie w miejsca zmiennych zdaniowych jedynek (wartosci prawdy), oraz zer (wartosci falszu), we wszystkich mozliwych kombinacjach ( jest ich, jak pamietamy : 2ⁿ, gdzie “n” jest liczba zmiennych zdaniowych). Jej przeciwienstwo to KONTRTAUTOLOGIA, ktora jest wylacznie falszywym schematem zdania wyrazonego w jezyku rachunku zdan.

Zatem tautologia jest taki schemat, ktorego wartosc logiczna jest tylko i wylacznie prawdziwa (dla kazdej kombinacji wartosci logicznych zdan skladowych calosc to zawsze “1”), natomiast kontrtautologia jest taki schemat, ktorego wartosc logiczna jest tylko i wylacznie falszywa (dla kazdej kombinacji wartosci logicznych zdan skladowych calosc to zawsze “0”).

PRZYKLAD TAUTOLOGII:

			(~ p		~ q)		( q		p )
p	q
1	1		0 1	1	0 1	1	1	1	1
1	0		0 1	1	1 0	1	0	1	1
0	1		1 0	0	0 1	1	1	0	0
0	0		1 0	1	1 0	1	0	1	0

Widzisz, ze ostateczna wartosc logiczna calego schematu, po przeprowadzeniu wszystkich operacji, stanowia same jedynki. Wiec nie pozostaje nam - teraz juz znawcom logiki, nic innego, jak nazwac powyzszy schemat tautologia.

PRZYKLAD KONTRTAUTOLOGII:

			(~ p		~ q)		~(q		p)
p	q
1	1		0 1	1	0 1	0	0 1	1	1
1	0		0 1	1	1 0	0	0 0	1	1
0	1		1 0	0	0 1	0	1 1	0	0
0	0		1 0	1	1 0	0	0 0	1	0

			[(q	p)	- q )]		q
p	q
1	1		1	1 1	- 1 - 1	1	1
1	0		0	1 1	- 0 - 0	1	0
0	1		1	0 0	- 0 - 1	1	1
0	0		0	1 0	- 0 - 0	1	0

Sposob postepowania jest nastepujacy:

- napisalismy sobie schemat i zauwazylismy, ze wystepuja w nim dwie zmienne zdaniowe “p” i “q”;

- skoro mamy w schemacie tylko “p” i “q”, z wzoru 2 ⁿ obliczamy dla nich ilosc kombinacji zerojedynkowych (jest ich 4 i zostaly napisane z lewej strony schematu);

- podpisujemy pod odpowiednimi literami ich wartosci logiczne i dokonujemy pierwszego dzialania - implikacji;

- kolejny krok to sprawdzenie wartosci logicznej koniunkcji w nawiasie kwadratowym;

- ostatecznie dotarlismy do glownego spojnika schematu, ktorym jest druga implikacja, przyjmujacego dla wszystkich czterech zestawow zerojedynkowych wartosc prawdy, co ustanawia nasz schemat tautologia.
_____

b)

			[(q	p)	q	)]	q
p	q
1	1		1	1 1	1 1	1	1
1	0		0	1 1	0 0	1	0
0	1		1	0 0	0 1	0	1
0	0		0	1 0	0 0	1	0

CWICZENIE 8

a)

[ ( q	p )	q ) ]		q
		1	0	0

Zauwaz, ze podpisalismy “1” pod symbolem koniunkcji, bo to ona jest glownym spojnikiem w nawiasie kwadratowym (nasz schemat w uproszczeniu to dwie koperty : w lewej znajduje sie [( q p ) q], w prawej “q”, i to wlasnie one musza byc brane pod uwage na poczatku rozwazan o tautologicznosci).

- kolejny krok to zbadanie kiedy nasza lewa koperta, ta z duza zawartoscia, moze byc jedynka. Wiemy z matrycy koniunkcji, ze dzieje sie tak tylko w jednym przypadku, gdy “pierwszy czlon = 1 ; drugi czlon = 1” :

[ ( q		p )		q)]
	1		1	1

Ale skoro wczesniej zalozylismy, ze “q = 0” , trzeba nam do tego sie zastosowac takze i teraz. Wiec zmieniamy wartosc “q” na “0”,za “p” podstawiamy albo “0”, albo “1”, bo to obojetne - gdy pierwszy czlon implikacji (mowimy teraz o tej z okraglego nawiasu), wynosi “0” cala implikacja jest wedlug swojej matrycy prawdziwa, otrzymujac w ten oto sposob zawsze falszywa koniunkcje :

[(q	p)	q)]
0	1 0	0 0
0	1 1	0 0

Skoro wiemy, ze dla “q = 0” nasza lewa koperta jest takze zawsze zerem, zmieniamy podpisy w glownym schemacie, otrzymujac w ten sposob taki oto zapis :

p	q		[(q	p)	q)]		q
1	0		0	1 1	0 0	1	0
0	0		0	1 0	0 0	1	0

Widzimy teraz, ze z cala pewnoscia badany schemat jest tautologia (przyjal wartosc “1” w obu powyzszych kombinacjach zerojedynkowych).

_____

b)

	[(q	p)	q)]		q
I wariant			1	0	0
II wariant			0	0	1

Glownym spojnikiem pierwszego czlonu rownowaznosci, znajdujacego sie w lewej kopercie, jest koniunkcja wiec to pod nia podpisalismy jego wartosci logiczne.

- teraz zastanawiamy sie kiedy ta koniunkcja bedzie jedynka (byloby tak jedynie dla wariantu “q p” = 1 i “q” =1 ale nie mozemy sobie na to pozwolic, poniewaz dla “q” mamy zarezerwowana wartosc “0”):

[(q	p)	q)]			q
0	1	0_0	1		0

Czyli podstawilismy za “q” zero i otrzymalismy w okraglym nawiasie “1” (wiemy juz, ze gdy pierwszy czlon implikacji rowna sie “0”, to cala implikacja jest prawda i ma wartosc “1”, bez wzgledu na to czy drugi czlon jest zerem, czy tez jedynka). Koniunkcja w kwadratowym nawiasie bedzie zatem nie jedynka, jak to wczesniej dla I-ego wariantu zerojedynkowego zakladalismy, ale najprawdziwszym zerem, czyniac tym samym caly schemat prawdziwym (podkreslona jedynka wziela sie z rownowaznosci “0 0”, zachodzacej pomiedzy dwoma naszymi kopertami), i zblizajac nas do wydania z siebie twierdzenia o jego tautologicznosci.

- ale przed nami jeszcze sprawdzenie II-ego wariantu zerojedynkowego, przy “q = 1”, czyniacego byc moze caly schemat zerem. Byloby tak dla trzech zestawien:

1. “q p” = 1 i “q” = 0;
2. “q p” = 0 i “q” = 1;
3. “q p” = 0 i “q” = 0;

Pierwsza i trzecia para odpada, bo wiemy, ze “q” musi koniecznie byc teraz jedynka, zainteresujemy sie zatem teraz wylacznie para numer 2 : “q p” = 0 i “q” = 1. Podpisujmy zatem znane nam juz wartosci logiczne pod schematem:

[(q	p)	q)]			q
1	0	0 1			1

- teraz dochodzimy, na podstawie matrycy, do wniosku, ze implikacja z nawiasu okraglego moze byc zerem tylko w jednym przypadku dla “p” = 0. Rezultat tego odkrycia wpiszemy sobie pod schemat i dokonamy stosownych dzialan:

[(q	p)	q)]			q
1	0 0	0 1	0		1

Ku naszemu zdziwieniu dla “p” = 0 , “q” =1; ostatecznie okazalo sie, ze nasze zalozenie dotyczace mozliwosci schematu bycia falszywym, sprawdzilo sie (podkreslone zero).

Wniosek stad jeden - ten schemat nie byl, nie jest i nigdy nie bedzie tautologia.

_____

c)

~ {

[r

( p

q)]

(~ p

~ q)

}

Powyzszy schemacik moze splatac nam figla i nie byc tautologia tylko w jednym przypadku : gdyby nasza skrzyneczka na listy okazala sie faktycznie miec wartosc “1”. Sprawdzimy...

~ {	[r	( p	q)]		(	~ p		~ q)	}
0				1

Wszystko, co znajduje sie w klamrze moze teoretycznie byc jedynka, jesli :

I. lewa koperta to 1, prawa 1;
II. lewa koperta to 0, prawa 1;
III. lewa koperta to 0, prawa 0.

Zatem zapiszmy to :

~ {	[r	( p	q)]		(	~ p		~ q)	}
0	1			1			1
0	0			1			1
0	0			1			0

- lewa koperta jest jedynka gdy oba czlony koniunkcji sa jedynkami ( “r” = 1; “p s q” = 1).Prawy jej czlon musi zatem byc zlozony albo z dwoch jedynek, albo z dwoch zer, bo tylko w takim przypadku rownowaznosc ma wartosc “1” :

[r	( p	q)]
1 1	1 1	1
1 1	0 1	0

- Umiescmy teraz w badanym schemacie dotychczasowy wynik naszych przemyslen :

				~{	[r	(p	q)]		(	~ p		~ q)	}
p	q	r
1	1	1		0	1 1	_1 1	1	1		0 1	1	0 1
0	0	1		0	1 0	_0 1	0	1		1 0	1	1 0

Okazuje sie, ze to, co wywnioskowalismy pozwala nam juz stwierdzic, ze nasz schemat nie jest tautologia, bowiem juz w obu sprawdzonych kombinacjach przyjal wartosc “0”. Nie trzeba wiec bawic sie w dalsze podstawianie.

_____

d)

(~p

q)

V

~

(p

r)

Schemat, ktorego glowny spojnik to alternatywa moze nie byc tautologia na szczescie tylko w jednym przypadku, gdy oba czlony sa zerami.

- implikacja bedzie zerem, gdy “~ p” = 1, a “q” = 0 (samo “p” jest w takim razie zerem):

Po umieszczeniu stosownych wartosci w odpowiednich miejscach, zauwazamy, ze nasza prawa koperta przyjela wartosc “1”(jesli choc jeden skladnik koniunkcji jest zerem, a nasze “p” akurat teraz nim jest, cala koniunkcja jest zerem i po jej zanegowaniu otrzymuje sie jedynke), co uczynilo wartosc schematu podkreslona jedynka.

- zabralismy sie juz za schemat z jego lewej strony, zrobmy to teraz z prawej. Otoz negacja koniunkcji (nasza prawa koperta), bedzie zerem tylko jesli sama koniunkcja jest jedynka (ona zas musi skladac sie z dwoch jedynek):

Jednak po podstawieniu za “p” jedynki, udalo sie nam nie otrzymac zera w ramce (wiemy przeciez, ze skoro pierwszy czlon implikacji z okraglego nawiasu ma wartosc “0”, to cala implikacja ma zawsze wartosc “1”, bez wzgledu na to czy drugi jej skladnik to zero, czy jeden), bo alternatywa “1 V 0” daje po wsze czasy jedynke:

Wiec schemat ten, czy to zachodzic go z lewej, czy tez z prawej, twardo trzyma sie swojej jedynki i udowadnia nam, ze jednak jest stale prawdziwy. Tautologia, i niech mu tak bedzie!